Сайт журнала "Промышленное и гражданское строительство

К 100-ЛЕТИЮ МИСИ-МГСУ
Локализация решения краевой задачи для уравнения Пуассона на основе B-сплайнов
УДК 624.04 DOI: 10.33622/0869-7019.2021.09.04-11
Павел Алексеевич АКИМОВ, академик РААСН, доктор технических наук, профессор, e-mail: akimovpa@mgsu.ru
Марина Леонидовна МОЗГАЛЕВА, доктор технических наук, профессор, e-mail: marina.mozgaleva@gmail.com
Таймураз Батразович КАЙТУКОВ, кандидат технических наук, доцент, советник РААСН, e-mail: kaytukovtb@mgsu.ru
ФГБОУ ВО «Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет» (НИУ МГСУ), 129337 Москва, Ярославское ш., 26
Аннотация. Рассматривается известная краевая задача для уравнения Пуассона. Для ее решения применяется одна из возможных вейвлет-реализаций дискретно-континуального метода конечных элементов, основанная на использовании B-сплайнов. Следует уточнить, что объектом исследования являются конструкции с постоянными физико-математическими характеристиками по одному из направлений (далее это так называемое основное направление). В статье приводится континуальная постановка соответствующей задачи с выделением основного направления - имеем дифференциальное уравнение с операторными коэффициентами с соответствующими краевыми условиями. Рассматриваются некоторые вопросы, связанные с построением нормализованных базисных функций B-сплайна, приводится дискретно-континуальная постановка задачи, сформированная с использованием техники конечно-элементной аппроксимации. Здесь соответственно имеем результирующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В заключительной части статьи описан пример численной реализации предложенного подхода, а также пример расчета.
Ключевые слова: дискретно-континуальный метод конечных элементов, вейвлет-реализация, B-сплайн, краевая задача, уравнение Пуассона, верификация.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М. : Наука, 2004. 798 с.
2. Ивлев Д. Д. Механика пластических сред. Т. 1. Теория идеальной пластичности. М. : Физматлит, 2001. 445 с.
3. Ивлев Д. Д. Механика пластических сред. Т. 2. Общие вопросы. Жесткопластическое и упругопластическое состояние тел. Упрочнение. Деформационные теории. Сложные среды. М. : Физматлит, 2002. 448 с.
4. Ивлев Д. Д., Ершов Л. В. Метод возмущений в теории упругопластического тела. М. : Наука, 1978. 208 с.
5. Лурье А. И. Теория упругости. М. : Наука, 1970. 939 с.
6. Александров В. М. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М. : Наука, 1986. 329 с.
7. Золотов А. Б., Акимов П. А., Мозгалева М. Л. Многоуровневые дискретные и дискретно-континуальные реализации вариационно-разностного метода. М. : АСВ, 2013. 416 с.
8. Мингалев О. В., Мельник М. Н. Численное решение краевых задач для уравнения Пуассона методом быстрого преобразования Фурье с использованием параллельных вычислений // Труды Кольского научного центра РАН. 2018. № 5-4(9). С. 165-182.
9. Akimov P. A., Belostotskiy A. M., Mozgaleva M. L., Mojtaba Aslami, Negrozov O. A. Correct multilevel discrete-continual finite element method of structural analysis [Корректный многоуровневый дискретно-континуальный метод конечных элементов расчета строительных конструкций] // Advanced Materials Research. 2014. Vol. 1040. Рp. 664-669.
10. Akimov P. A., Sidorov V. N. Correct method of analytical solution of multipoint boundary problems of structural analysis for systems of ordinary differential equations with piecewise constant coefficients [Корректный метод аналитического решения многоточечной краевой задачи расчета строительных конструкций для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами] // Advanced Materials Research. 2011. Vol. 250-253. Pp. 3652-3655.
11. Шарфанец Б. П., Шарфанец Е. Б. О выборе методов решения уравнения Пуассона в общем случае распределения объемной плотности заряда и о постановке краевых условий в электрокинетических задачах (обзор) // Научное приборостроение. 2015. Т. 25. № 1. С. 65-75.
12. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М. : Наука, 1981. 512 с.
13. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М. : Высшая школа, 1970. 712 с.
14. Ворожцов Е. В., Шапеев В. П. Численное решение уравнения Пуассона в полярных координатах методом коллокаций и наименьших невязок // Моделирование и анализ информационных систем. 2015. Т. 22. № 5. С. 648-664.
15. Князев С. Ю., Щербакова Е. Е., Енгибарян А. А. Численное решение краевых задач для уравнения Пуассона методом точечных источников поля // Вестник ДЛГТУ. 2014. Т. 15. № 2(77). С. 15-20.
16. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск : НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 464 с.
17. Чуи К. Введение в вейвлеты. М. : Мир, 2001. 412 с.
Для цитирования: Акимов П. А., Мозгалева М. Л., Кайтуков Т. Б. Локализация решения краевой задачи для уравнения Пуассона на основе B-сплайнов // Промышленное и гражданское строительство. 2021. № 9. С. 4-11. DOI: 10.33622/0869-7019.2021.09.04-11.